Μαθημα Κινητικής

Βασιλης Κολλιας και Θανάσης Ντάβαρης

Παιδικο σεντόνι. Εργο Βασιλικής Σινάνογλου

Το μάθημα στη Φυσική συνεχίζεται.  (ειχε ξεκινήσει με Δυναμικη: Εισαγωγή, Φαση 1, Φαση 2, Φαση 3, Φαση 4) Ο Θανάσης έθεσε στον εαυτό του ένα διαφορετικο πρόβλημα τώρα. Αφορά στην Κινητική.

Ενα αυτοκινητο τρέχει με 10χιλ/ώρα και σταματά σε αποσταση ενος μέτρου επιβραδυνόμενο σταθερά.
Ενα άλλο αυτοκίνητο τρέχει με 20χιλ/ωρα και σταματά με την ιδια σταθερή επιβράδυνση. Σε πόση απόσταση θα σταματήσει;

Είδε οτι η αποσταση θα ειναι τετραπλάσια και ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΣΕ ΝΑ ΤΟ ΧΩΝΈΨΕΙ! Του ήταν φοβερά ενοχλητικο!

Το βρίσκω θαυμάσιο αυτό. Να βιώνει ως πολυ ενοχλητικό ένα αποτέλεσμα της Φυσικής. Δείχνει ενδιαφέρον, διάθεση να παλέψει κανεις, να βρει τι ισχυει πραγματικά, να μην "βαλει μουγγα" στη διαισθησή του. Το πάλεψε λοιπον και παρακάτω υπάρχει η ιστορια αυτης της "πάλης" αρχικά μονος και στη συνέχεια με τη συνδρομη του Βασίλη.

Σκέφτομαι τις προυποθέσεις για να προσεγγισει κανεις ένα προβλημα φυσικής δημιουργικά: να μην ειναι φοβικός/η, ενώ ξέρει ότι τα πράγματα θα ειναι δυσκολα να θελει να "δοκιμαστεί" και να νοιώθει οτι θα του δώσουν το χρονο να "δοκιμαστεί" και θα εκτιμήσουν την πάλη του.  Υπάρχουν και άλλα που μάλλον τα ξέρει καλυτερα ο Θανάσης: να μπορει και ο ιδιος να διαχειρισθει το άγχος, την απογοήτευση, τις αρνητικές σκέψεις όταν τα πράγματα δεν πάνε καλα. Οποιος θελει μπορει να συνεχισει στο τι συνέβη




Στην αρχη ξεκινησε πολυ προσεκτικά. Καθαρο γράψιμο, πίνακες, συνδεση με άλλα προβλήματα που φαίνονται πιο βατά

(οι σημειωσεις με στυλο στο τέλος της σελιδας προερχονται απο τη συζήτηση αφου ο Θανάσης ειχε κανει ολη αυτη τη δουλειά. Προσπαθούσα να τονισω οτι η αναλογία (ταχυτητας - τελικου αποτελέσματος) ισχυει για το χρονο αλλά οχι για την ταχυτητα. Οτι ειναι σημαντικο ότι η επιτάγχυνση έχει ορισθεί με βάση το χρόνο και οτι θα μπορουσε να έχει ορισθει με βάση την αποσταση αλλά αυτο θα ειχε κάποιες συνέπειες)

 Στην παρακάτω σελιδα μοιάζει να συναντά δυσκολίες και έτσι καταφευγει σε κάτι που νοιώθει να γνωριζει καλύτερα, τη δυναμική. Ετσι εισάγει τη δυναμη που προκαλει την επιβράδυνση. Αν και οι δυνάμεις δεν χρειάζονται σε αυτη την  άσκηση ωστόσο η αναφορά σε δυνάμεις μάλλον τον κάνει να νοιώθει οτι ελέγχει καλυτερα την κατάσταση και ισως τροφοδοτει ελπίδες οτι θα βρεθει μια λυση

Στην παρακάτω σελίδα βλέπουμε να παλευει να διαφοροποιήσει την ομαλά επιβραδυνόμενη απο την ευθύγραμμη και ομαλή κίνηση.
Πιθανώς το να εισαγει και τις δυνάμεις στη συζήτηση τον διευκολύνει ψυχολογικά. Δηλαδή δεν ειναι κάτι αναγκαίο απο την τυπική σκοπιά της λυσης της άσκησης αλλά μπορει να ειναι σημαντικο για να νοιώθει οτι κινείται με ασφάλεια, οτι έχει καλυτερο "προσανατολισμό" καθώς προσπαθει να λύσει το πρόβλημα που διάλεξε για τον εαυτό του.

Στο παρακάτω αλλάζει το πρόβλημα. Αντι να έχει να κάνει με διπλάσια ταχύτητα δοκιμάζει την περιπτωση της διπλάσιας δυναμης που σταματά το σώμα. Πολυ ενδιαφέρον και σωστό! Εξερευνει το "χωρο" των πιθανών προβλημάτων και ταυτοχρονα προσπαθει να δημιουργήσει "γνωστικά προπύργια" (αποτελέσματα για τα οποια να νοιώθει σιγουρια) αλλά και αποθεματικο επιτυχιών (καθε επιτυχημένη καινουργια άσκηση ειναι και μια "ψήφος εμπιστοσυνης" στην ικανοτητά του, ενίσχυση της αισθησης αυτοαποτελεσματικοτητας στη Φυσική). Σαν να δουλευει σε δυο μέτωπα: και γνωστική πρόοδος αλλά και φροντίδα για να μη φθίνει η κινητοποιησή του.

 Σε κάποια σημεία δεν χρησιμοποιει sec στο τετράγωνο, οταν μιλά για επιτάγχυνση. Αυτο ειναι και μια αφορμή για αναφορά σε διαστατική ανάλυση. Κυρίως ομως αυτο που αναδικνύεται στην παρακάτω σελίδα ειναι η δυσκολία να διαφοροποιηθει ο χρονος απο την αποσταση στην αναλογία τους με την ταχυτητα που φθίνει. Ο χρονος ειναι ανάλογος αλλα΄η αποσταση δεν ειναι. Ειναι δυσκολο να διαχειρισθει κανεις όλα αυτα μαζι

Εδω επανέρχεται στον ορισμο της επιτάγχυνσης και στη διαφοροποίησή της απο την ταχύτητα.

Τα κοκκινα και γαλάζια σημάδια παρακάτω έχουν να κάνουν με τη συζήτησή μας. Ουσιαστικά δουλευαμε πάνω στη διάκριση ανάμεσα στο πως αντιστοιχει ο χρονος και πώς αντιστοιχει η αποσταση σε διαφορετικά "βήματα πτώσης" της ταχύτητας.
Επισης μας απασχολησε η αλλαγή ορολογίας. Απο "δυναμη της αδράνειας" που αναφερεται εδω σε "ορμή" . Η ορμή ΔΕΝ ειναι δυναμη. Η δυναμη "ροκανίζει" ή "ενισχυσει" σταδιακά την ορμή

Στην παρακάτω σελίδα φαίνεται οτι και μονος ειχε κάνει αυτη τη μετάβαση στη διαφοροποιηση ανάμεσα στο διάστημα μέχρι να σταματήσει και στο χρόνο μέχρι να σταματήσει. Τωρα σε κάθε δευτερόλεπτο διανύονται διαφορετικές αποστάσεις και αυτο συνδέεται με την παρουσία διαφορετικών ταχυτήτων

Η παρακατω σελιδα ειναι ΠΟΛΥ ενδιαφερουσα. Ειναι μια προσπάθεια λύσης. Λέει: Οταν κινειται απο 20χιλ/ωρα σε 10 χιλ/ωρα κινείται με διπλάσιες ταχύτητες απο ό,τι οταν κινείται απο 10 χιλ/ωρα σε 0 χιλ/ωρα. Αρα θα πρέπει να κάνει διπλάσια αποσταση. Αρα συνολικά απο 20χιλ/ωρα ως 0 χιλ/ωρα κανει την τριπλάσια αποσταση απο ό,τι οταν κάνει απο 10 χιλ/ωρα σε 0 χιλ/ωρα. 

Αν και ήξερε οτι αυτη ΔΕΝ ειναι η σωστή λύση ωστόσο ενοιωσε πολυ καλα με αυτην γιατι α) πλησίασε τη σωστή λυση β) γιατι και ο ιδιος ένοιωσε οτι μάλλον δεν ειναι σωστό να περιμένει απλως διπλασιασμο της απόστασης."Εσπασε" η προηγουμενη προσδοκία του, και μάλιστα με τρόπο που ο ιδιος ειχε βρει και που διαισθητικά τον αποδεχόταν.

Η ιδεα αυτη ειναι καλή αλλά σηκώνει διορθωση και αυτο το δουλέψαμε αργότερα

Τελικά η άσκηση αυτη που ο Θανάσης έθεσε αποδειχτηκε εξαιρετική. Εχει πολλούς τρόπους λυσης και στην πορεια αποκαλύπτονται πολλά εργαλεια της Φυσικής. Στη συζητησή μας
α) χρησιμοποιήσαμε γραφήματα (ήταν μια ευκαιρία), [Θανάσης]: πρώτη φορά ένοιωσα οτι δεν ειναι μια αυθαίρετη απαιτηση των δασκαλων

και τη λυσαμε με γραφήματα

β) χρησιμοποιήσαμε αλγεβρικές μεθόδους (ευκαιρία)

















γ) λύσαμε την άσκηση χρησιμοποιόντας την έννοια της μέσης ταχυτητας (για το διάστημα απο 20 χιλ/ωρα μέχρι 10 χιλ/ωρα ειναι 15χιλ/ωρα, δηλαδη τριπλάσια του 5 χιλ/ωρα που ειναι στο διάστημα 10 χιλ/ωρα μέχρι 0 χιλ/ωρα. Ισος χρονος τριπλάσια ταχυτητα άρα , τρεις φορές μεγαλυτερο διαστημα κάνει οσο η ταχυτητά του πέφτει απο 20 χιλ/ωρα σε 10 χιλ/ρα απο ο,τι πέφτει όταν πάει απο 10χιλ/ωρα σε 0 χιλ/ωρα)
δ) τη λυσαμε θεωροντας ενα τρένο που κινειται με σταθερη ταχυτητα 10χιλ/ωρα και συνδιαζοντας τις σχετικές ταχυτητες (ευκαιρία) με τα γραφήματα
ε) τελος δουλέψαμε μαζι στη διορθωση της ωραίας ιδεας του Θανάση με τις αναλογίες

Εκει δουλέψαμε με προσοχή την αναλόγια και ειδαμε οτι η απόσταση που κάνει όσο τη ταχύτητά του πέφτει απο 20 χιλ/ωρα σε 10 χιλ/ωρα ειναι 4 φορές μεγαλυτερη (διπλάσιες ταχυτητες αλλά και για διπλάσιους χρόνους, αφου πχ ο χρόνος για να πεσει η ταχυτητα απο 20 χιλ/ωρα σε 18 χιλ/ωρα ειναι διπλάσιος του χρόνου να πέσει απο 10 χιλ /ωρα σε 9 χιλ/ωρα) απο το διάστημα που κάνει οσο η ταχυτητά του πέφτει απο 10 χιλ/ωρα σε 5 χιλ/ωρα. Με βάση αυτο με διάφορους τροπους μπορει να καταληξει κανεις στη σωστη σχέση (ενας -δυο τροποι διαφαίνονται στην παραπανω σελίδα)

ΕΔΩ ΕΜΦΑΝΙΣΤΗΚΕ ΜΙΑ ΑΠΡΟΣΜΕΝΗ ΔΥΣΚΟΛΙΑ

[Θανάσης] Λες ότι οσο η ταχυτητα πέφτει απο 20 χιλ/ωρα σε 18 χιλ/ωρα, ο χρόνος ειναι διπλάσιος απο ο,τι είναι οταν η ταχυτητα πέφτει απο 10 χιλ την ώρα σε 9 χιλ την ώρα. Και μετά λες "διπλασια ταχυτητα και διπλάσιος χρόνος άρα τετραπλασιο διαστημα". ΑΛΛΑ ΚΟΙΤΑ ΠΩς ΜΙΛΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΧΡΟΝΟ. Σαν ο χρονος να ειναι αίτιο της απόστασης, σαν να καθοριζει την αποσταση. Ομως στην άσκηση αυτη το που θα σταματήσει το αυτοκίνητο εξαρτάται μόνο απο την αρχική ταχυτητα και την επιβράδυνση.Πώς μπορει ο χρόνος να ειναι αίτιο; να ελέγχει το τι γινεται;

Αυτή η αντίρηση του Θανάση ειναι νομίζω εξαιρετικά ενδιαφέρουσα γιατι

α) μας δινει την αισθηση οτι κάπως στο νου του, στη σκέψη του, υπάρχει κάτι σαν "Ελεγκτης", ενα ψίγμα πρακτικής σοφίας της ζωής, ένα μικρό module που ειναι ταυτόχρονα γενήτορας ιδεών αλλά και αντίσωμα σε λανθασμένες ιδέες. Αυτο το κομματάκι ορίζει κάτι σαν το εξης: "αν έχουν εντοπιστεί οι σημαντικοι παράγοντες που επιρεάζουν κάτι, αυτοι θα επιρεάσουν το τι θα συμβεί. Κάτι που διαπιστώθηκε οτι ειναι δευτερεύον δεν μπορει ξαφνικά να έρθει και να παιζει ρολο βασικού αιτιακού παράγοντα". Αυτο λοιπον ειναι κάτι πολυτιμο για τον Θανάση, κάτι που δεν θέλει να το δει να "χάνει". Ισως γιατι έχει μια πολυ ευρυτερη εφαρμοσιμότητα απο την συγκεκριμένη περιπτωση και επειδή αν κλονιστεί τότε εισάγεται η αβεβαιότητα και σε πολλά άλλα συμπεράσματα. Αναρωτιέται κανεις αν αυτο ειναι κάτι που γενικότερα συμβαίνει στο νου μας οταν σκεφτομαστε δημιουργικά, γεννετικά, και δεν ακολουθουμε κάποιο αλγόριθμο "βάζοντας σιγαστήρα" στις όποιες αντιρήσεις μας

β) σε μια τέτοια κατάσταση εγείρεται κάποιου ειδικού τύπου συναισθήματα, ένα ειδος αισθησης δυσφορίας. Αυτη η αισθηση ειναι κάτι πολυτιμο που πρεπει, ως μαθητές, να το αναγνωρίζουμε και να το σεβόμαστε και ως εκπαιδευτικοί να το εξαίρουμε, να το βραβεύουμε και να το εκτιμούμε. Ειναι σημαδι λειτουργίας ελέγχου, κριτικής. Νοιώθω οτι κάπου εκει παιζεται σημαντικο μερος του παιγνιδιου για το άν οι μαθητές θα οικειοποιηθουν (ownership) την πρακτική της λυσης προβληματων φυσικής, για το αν μπορεσει η πρακτική αυτη να γινει μια πρακτική ΤΟΥΣ  σε αντιδιαστολή με ένα αναγκαιο κακο ή μια απλώς χρήσιμη δεξιότητα

Ο Θανασης λοιπον απο τη μια έβλεπε την ορθότητα της λυσης αλλα απο την άλλη δυσανασχετούσε γιατι το εσωτερικό του κριτήριο του έλεγε οτι κάτι πάει στραβά.

Πρακτικά αυτο που κάναμε ήταν να προσπαθησουμε να παρακάμψουμε αυτο το "Αντισωμα" αλλάζοντας για την ώρα τον τρόπο σκέψης:

Αντι να λέμε: "διπλάσια ταχύτητα για διπλάσιο χρόνο" (οποτε ο χρόνος εμφανίζεται ως αιτιακος παικτης αυτης της περιστασης) συζητήσαμε και καταλήξαμε σε μια εικονα όπου για κάθε "βήμα" πτώσης της ταχυτητας απο 10 χιλ/ωρα σε 0 χιλ/ωρα, αντιστοιχουν 2 βήματα πτώσης απο 20 χιλ/ωρα σε 0 χιλ/ωρα. Μαλιστα κάναμε μια αναλογία με βηματισμο και "κουτσο". Αν τα βηματα μας σηματοδοτουν σημεία όπου η ταχυτητα πέφτει κατα σταθερά ποσά (εδω κάναμε μια βηματιστή προσέγγιση του συνεχους της πτώσης της ταχύτητας) , τοτε για κάθε βήμα στην περιπτωση που η ταχυτητα πέφτει απο 10 χιλ την ώρα αντιστοιχουν δυο βήματα (κάτι σαν διπλό πηδηματάκι) για το κινητό που η ταχυτητά του πέφτει απο τα 20 χιλ την ώρα.

Με τον τρόπο αυτο ο χρονος δεν παρουσιάζεται ως κάνει εννοιαίο αλλά ως βήματα και έτσι (μάλλον) δεν κινητοποιείται το "αντισωμα σκέψης" που εξορίζει τον χρόνο απο τους παράγοντες που έχουν κυριο λογο στο αποτέλεσμα

Οσο αφορά στην παρουσία τέτοιων "ψιγμάτων πρακτικής σοφίας" (όπως αυτο για το ποιοι παράγοντες μπορει να έχουν αιτιακο ρόλο),  στη συζήτησή μας φάνηκε σαν να υπήρχε κάτι παρομοιο σε σχέση και με την προσδοκία αναλογιών (την αισθηση δυσφορίας που ξεκίνησε αυτο το ψάξιμο). Η ταχυτητα ειναι διπλάσια άρα λογικά και τα "Αποτελεσματα" (χρονος, αποσταση) ειναι δυπλάσια.  (Δεν ειμαι σιγουρος αν η έννοια που με καθημερινα λογια παρουσιάζουμε εδω ειναι παρομοια με τα p-prims του DiSessa.)

Τελος για μια ακομα φορά αποκαλύπτεται νομιζω η σημασία του "χρονου ευέλικτης και ειλικρινούς προσπάθειας"

Η άσκηση με την οποια ξεκινήσαμε μπορει να λυθει σε δυο γραμμές ξεκινώντας απο τους κατάλληλους τυπους. Μπορει ακομα να "φυμωσει" κανεις τις "αντιδράσεις" του και να την "μάθει" σε 5 λεπτα. Τι έμαθε όμως; 

Το ρημα "μαθαινω" μπορει να χρησιμοποιηθει και για το τι θα "μάθαινε" εκεινος ο μαθητής και για το τι "έμαθε" ο Θανασης. Πιστεύω ομως οτι έχουμε να κάνουμε με δυο πολυ διαφορετικές πραγματικότητες.

Ευέλικτη προσπάθεια = προσπάθεια που αλλάζει σημεία εκκίνησης, αλλάζει τρόπους προσέγγισης, δημιουργεί υποπροβλήματα ή κοντινά προβλήματα και τα παλευεθ

Ειλικρινής προσπάθεια= προσπάθεια που αναγνωρίζει τις αντιρησεις που νοιώθει καποιος, δεν τις φυμώνει αλλά τις φέρνει στο προσκήνιο, παλευει να τις "εξημερώσει".

Χρονος. Χρειάζεται χρόνος καλά επενδυμένος αλλά και κάπως ανοικτός (δεν μπορουμε να προβλέψουμε με ακριβεια το πού θα φτάσει το κάθε παιδι σε συγκεκριμένο χρόνο)