Μαθηματικο

Αναρωτηθηκα. Μπορουμε να φτιάξουμε ένα δεκαδικο αριθμό αναμεσα στο 0 και το 1 τέτοιον ώστε:
Οποιο ψηφιο του και να διαλέξουμε (ας πουμε το 7 που παρουσιάζεται στο 534ο ψηφιο) να μην μπορει να βρεθει κάποιος φυσικός Ν (πχ ο 67899) τετοιος ωστε, απο εκεινο το σημειο και μετα κάθε Ν (πχ 67899) ψηφια θα εμφανιζεται και πάλι το ιδιο ψηφιο (πχ το 7 στο παράδειγμά μας);



Μετα απο συζητήσεις βρηκα μια λυση. Φτιάχνουμε ενα δεκαδικο ο οποιος ειναι χωρισμένος σε "νησιά" όπου σε κάθε νησι τα ψηφια ειναι ιδια. Ας πουμε μαλιστα οτι απο νησι σε νησι αλλάζει ενα ψηφιο (μέχρι να φτάσουμε στο 9 και μετα πάλι απο την αρχη). Τοτε αρκει το μεγεθος των νησιών να αλλάζει διαρκώς

Αποδειξη:
Εστω οτι διαλέγω ενα ψηφίο το οποιο εμφανιζεται σε κάποια θεση στον δεκαδικο. Και έστω οτι το ψηφιο αυτο επαναλαμβανοταν κάθε Ν ψηφια απο εκει και πέρα. Ομως καθως προχωραμε στα ψηφια τα "νησια" κάποια στιγμη γινονται μεγαλυτερα απο το 2Ν. Τοτε ειμαστε καταδικασμένοι (καθώς κάνουμε "βηματα" μηκους Ν) να κάνουμε δυο βηματα στο ιδιο νησι και επισης ειμαστε καταδικασμένοι να περάσουμε απο νησιά διαφορετιών ψηφιων. Οποτε...

Μετα σκέφτηκα. Ας παρουμε μια ειδική περιπτωση. Το πρωτο νησι εχει διάσταση 1, το δευτερο 2, το τριτο 4 το τεταρτο 8 κλπ με τις δυνάμεις του 2.

Τοτε αν μου δώσετε που βρίσκεται στη σειρα οποιοδηποτε ψηφιο και αν περνάμε απο ψηφιο σε ψηφιο με τη σειρα μπορω πιθανότατα να βγάλω και ενα κανονα που να υπολογιζω το ψηφιο θα ειναι. Δηλαδη μοιαζει κατι πολυ ελεγχομενο.

Ας πουμε ομως οτι ρωταω: Παιρνω στην τυχη ενα ψηφίο. Τι πιθανοτητα έχει να ειναι 7; Τοτε διαπιστώνω οτι παραδοξως δεν μπορω να ορισω την πιθανοτητα. Γιατι αν ξεκινουμε απο το 1 θα έπρεπε p(9)= 2p(8)= 4 p(7) κλπ επειδη κάθε φορά το "μηκος" που πιάνουν τα ψηφία (απο μια οπτική) ειναι διπλάσιο απο εκεινο που καλυπτει το προηγουμενο ψηφίο. Αν ομως αφησω το 1 απέξω και αρχισω απο το 2 τοτε παιρνω ένα τελειως διαφορετικο αποτέλεσμα!

Μου θυμισε τα περι σειρών και πώς κάποιες σειρές συγκλινουν ενώ κάποιες άλλες οχι

Μετα σκεφτηκα οτι θα μπορουσαμε για συνολα που μπορουν να μπουν στο ιδιο μεγαλυτερο συνολο να συγκρινουμε το μέγεθός τους όχι με βάση 1 προς 1 αντιστοιχια αλλά με βάση την πιθανότητα αν "ριξουμε" στην τυχη να πετυχουμε ενα στοιχειο τους.  Με βάση αυτο το μετρο θα περιμενα οι ζυγοι να ειναι μισοι απο τους φυσικους. (Ενω απο μια άλλη σκοπιά έχουν ιση πληθυκότητα)

Μετά σκέφτηκα: Αραγε μπορουμε να χωρισουμε τους αριθμους σε αυτους για τους οποιους μπορει να ορισθει η πιθανοτητα διαλέγοντας στην τυχη να διαλέξουμε ενα ψηφιο και σε αυτους που δεν μπορουμε.  Αλλά τι γινεται αν υπάρχουν και αριθμοι για τους οποιους δεν μπορουμε να αποφανθουμε; Κάνουν ένα τριτο συνολο; Και τι γινεται με αυτους που δεν μπορουμε αυτη τη στιγμη αλλά με το ιδιο συστημα αξιωματων θα καταφέρει κάποιος μαθηματικος στο μέλλον να δωσει μια τέτοια αποδειξη; Εχει νοημα να σκεφτομαι έτσι;

Και τι λογης ειναι άραγε αυτα τα συνολα; Ειναι ισοπληθικά ή οχι;

Μπορει να έκανα και λάθος και η ιδια η έννοια της πιθανότητας να διαλέξω ενα ψηφίο να μην  οριζεται για κάθε αριθμό (αν και νοιωθω οτι για κάποιους θα έπρεπε να οριζεται).

Μου αρέσουν τα μαθηματικά αλλά οι γνώσεις μου ειναι αρκετά περιορισμένες. Ειναι υπέροχα ομως!