Τι πιο απλο απο ενα κομματι της αριθμογραμμής. Μοιάζει τοσο ελεγχόμενο απο εμάς τους ιδιους
πχ
0___________1___________2___________3
και ομως, ειναι τέτοιος ο τρόπος της σκέψης μας που μέσα σε αυτο το πεπερασμένο πράγμα μπορει να υπάρχει κάτι άγριο, παράδοξο και αυτο έχει να κάνει με το πώς συναντούμε το άπειρο
Να γινω πιο συγκεκριμένος.
Ας πάρουμε τους αριθμούς απο το 0 μέχρι το 1. Ειναι δεκαδικοί. Απο αυτους όσοι μπορουν να γραφουν ως κλάσματα φυσικών αριθμών ειναι δεκαδικοί που ειτε τελειώνουν κάπου (απο κει και περα έχει ολο μηδενικά) ειτε απο ένα σημειο και μετα ένα μέρος τους επαναλαμβανεται αέναα. Και αντιστροφα ολοι αυτοι οι δεκαδικοι μπορουν να γραφουν ως κλάσματα. Τους αριθμους αυτους τους λέμε ρητους.
Τι υπάρχει πέρα απο αυτους; Υπάρχουν όλοι εκεινοι οι δεκαδικοί που τα ψηφια τους ποτε δεν επαναλαμβάνονται συνεχώς αλλα κάπου διαρκώς ξεπηδά και κάποιο καινουργιο, απροσμενο ψηφίο. Ειναι σαν ηφαίστεια αυτοι οι αριθμοί που χάνονται στο άπειρο του δεκαδικου αναπτιγματος. Αυτοι ειναι οι άρητοι και με τον τρόπο που τους παρουσίασα μοιάζουν ένα ειδος "περισσεύματος", "υπολοιπου". Τα φαινόμενα απατουν όμως.
Κάποια απροσμενα στοιχεία:
1. Ολοι οι ρητοι αριθμοί μπορουν να μπουν σε μια σειρά και να αριθμηθουν. Μπορουμε δηλαδή να βρουμε ένα τροπο ώστε οταν μας δινουν ένα ρητό να πουμε ποιο ειναι το νουμερο που θα έχει σε μια συγκεκριμένη στοιχιση που εμεις φτιάχνουμε. Ετσι δεν μένει κανενας απέξω. Θα μου πειτε: μα οι ρητοι ειναι πολυ πιο πολλοί απο τους φυσικούς! Και ομως γινεται!
2. Οι αρρητοι δεν μπορουν να μπουν σε μια τέτοια στοιχηση. Οποια και να σκεφτουμε μπορουμε να φτιάξουμε σιγά σιγά ένα δεκαδικο που δεν θα ανοικει πουθενα!! Τελικά το "υπολοιπο" δεν ειναι και τοσο "υπόλοιπο". Μοιάζει να ειναι εκρηκτικό
Ας πουμε οτι ειμαστε μινιμαλιστές. Τους ρητους αριθμους πες τους θεωρουμε κάτι συνηθες. Ενα κλάσμα βρε αδελφέ. Αλλά αυτοι οι άρρητοι! Ομως πολλοι άρρητοι διαφέρουν μεταξυ τους κατα κάποιον ρητό. Ολοι οσοι διαφέρουν κατα ένα ρητό μάλλον έχουν της ιδιας μορφής "αγριάδα". Λέμε λοιπον οτι εμεις θέλουμε το διάστημα [0,1] να το χωρίσουμε σε υποσυνολα όπου κάθε υποσυνολο θα ξεχωρίζει απο τα άλλα γιατι θα "κουβαλάει" τη δική του μοναδική μορφή "αρρητοτητας" ή "αγριάδας". Δηλαδή ενας άρρητος μεγαλυτερος απο το 0 και μικρότερος απο το 1 μαζι με όλους τους άλλους άρρητους που ειναι μεγαλυτεροι απο το 0 και μικρότεροι απο το 1 αλλά επισης διαφερουν μαζι του κατα ένα ρητό (πχ το 0.5 , το 0.3 . το 0.365 κλπ) ειναι στην ιδια ομάδα, στο ιδιο υποσυνολο
Επειδη λοιπον ειμαστε μινιμαλιστές, λέμε: τι τους θελουμε ολους αυτους τους άρρητους; Ας κρατήσουμε απο κάθε υποσυνολο ένα μονο αντιπροσωπο (σαν να κάνουμε μια βουλή αντιπροσώπων) και ας φτιάξουμε ένα συνολο (κάτι σαν κοινοβουλιο) που έχει απο ένα μονο αντιπροσωπο απο καθε υποσυνολο.
Αυτο ειναι ένα συνολο Vitali
Σαν να έχει αποστάξει κανεις το "ζουμί" της αρρητότητας απο το διάστημα [0,1].
Και τωρα αρχιζει το τσιρκο.
1. Πάρτε μέσα στο διαστημα [0,1] ενα οσοδηποτε μικρο διάστημα θέλετε πχ [0,29999999999, 0.3]. Οποιον άρρητο και να διαλέξετε στο [0,1], μπορειτε να βρειτε κάποιο ρητο που αν τον προσθέσετε ή τον αφαιρέσετε στον άρρητο αυτο μπορειτε να καταλήξετε στο παραπάνω διάστημα. Αρα οσο μικρό υποδιάστημα και να ορίσετε μπορειτε να βρείτε ενα συνολο Vitali που να κουβαλά ολη την παραξενιά των άρρητων αριθμών του [0,1] και να βρίσκεται μέσα του. Μοιάζει να μην ειναι και τοσοι πολλοι αυτοι οι αριθμοί
2. Και ομως ενα συνολο Vitali δεν μπορει να αριθμηθει, δεν μπορει να μπει σε μια σειρά και να του δωθουν νουμερα έτσι που για κάθε αριθμό του να υπάρχει και ένας φυσικος που του αντιστοιχει! Και αυτο παρά το οτι αυτο μπορει να συμβεί με τους ρητούς!
3. Φαντασθειτε οτι παιρνετε ένα οποιονδηποτε άρρητο (έξω και απο το [0,1]). Φυσικά με αφαιρεση ή προσθεση ενος ρητου μπορειτε να βρεθείτε στο διάστημα [0,1]. Αυτο σημαινει το εξης. Οτι αν πάρετε ένα συνολο Vitali Μ και για καθε ρητο αριθμο ρ φτιάξετε το συνολο Μρ που έχει ολους τους αριθμούς που φτιάχνονται απο το άθροισμα των αριθμών του Μ με αυτο τον ρητό τότε α) τα διαφορετικά συνολα Μρ για διαφορετικους ρητούς δεν θα έχουν κανενα κοινο σημείο και β) ολα τους μαζι μας δινουν ολους τους αριθμους (όλους τους πραγματικους αριθμους όπως λεμε). Δηλαδή κάτι σαν το γινομενο ενος συνολου Vitali επι τους ρητους να μας δινει τους πραγματικους. Ωστοσο αυτο δεν φαινεται και τοσο τρομερο. Στο κάτω κάτω άπειροι ειναι οι ρητοι και μάλιστα απλωνουν σε όλη την αριθμογραμμη οποτε δεν μοιάζει και φοβερό
4. Χμ. Να ομως και κατι (γι αρχη ) που μπορει να σας κανει να μην αισθανεστε και τοσο άνετε. Θυμάστε οτι ολοι οι ρητοι μπορουν να αριθμηθουν. Φυσικά αυτο συμβαινει και για τους ρητους που ειναι στο [0,1]. Αυτο ομως σημαινει οτι η ρητοι του [0,1] μπορουν να αντιστοιχιστουν ένας προς ένα με ολους τους ρητους που υπάρχουν στην αριθμογραμμή! ιδιόμορφο ε; Ομως θα πειτε:ε αυτες οι αντιστοιχησεις ειναι και σαν να τεντώνεις κάτι, δεν διατηρουν τις αποστάσεις, οποτε μπορω να το δεχθω
5. Και τωρα το ακομα πιο δυσκολοχωνευτο που για εμενα δειχνει τον εκρηκτικο χαρακτήρα της αριθμογραμμής. Παρτε ενα συνολο Vitali Μ. Στη συνέχεια θεωρηστε μονο τους ρητους στο [0,1]. Ας φτιάξουμε τα συνολα Mρ που προκυπτουν οπως παραπάνω και ας παρουμε την ένωσή τους. Ολοι οι αριθμοι που προκυπτουν ειναι στο διάστημα [0,2], χωρις να το καλυπτουν πληρως και τα διαφορετικά Μρ δεν έχουν κοινα σημεία. Οπως ειπαμε υπάρχει μια ένα προς ένα αντιστοιχια ανάμεσα στους ρητους του [0,1] και στους ρητους που υπάρχουν συνολικά στην αριθμογραμμή. Μπορουμε λοιπον να φαντασθουμε την εξης διαδικασία:
Ξεκινουμε απο το υποσυνολο του [0,2] που ειναι η ένωση των Μρ. Στη συνέχεια το φανταζόμαστε να χωρίζει στα "κομμάτια" του που ειναι τα Μρ. Για κάθε ρ θα υπάρχει ένα ρ' (ρητος της αριθμογραμμής) που του αντιστοιχει. Εμεις λοιπον το συνολο Μρ έτσι οπως ειναι το μετακινουμε κατα ρ'-ρ , οπότε καταλήγει στο συνολο Μρ'. Οταν κάνουμε αυτη τη διαδικασία για όλα τα Μρ καταλήγουμε με ενα συνολο απο Μρ' τα οποια τωρα τα βάζουμε μαζι. Ομως τα ρ' ειναι ολοι οι νρητοι αριθμοι που υπάρχουν και επομένως θα καταλήξουμε με όλους τους πραγματικους αριθμους!!!!
Δηλαδή κόψαμε το [0,2] σε (πολυ ιδιομορφα) κομμάτια τα οποια στη συνέχεια μετατοπισαμε (χωρις να τα τεντώσουμε με κάποιο τρόπο) και καταλήγουμε σε όλους τους πραγματικους αριθμούς!!!!
Πώς να το κατανοήσει κανεις ένα τετοιο αποτέλεσμα:
Εγω σκέφτομαι οτι οι αριθμοι ειναι σαν γεοτρυπανα και ιδιαιτερα οι άρρητοι ειναι σαν γεοτρυπανα που προχωρουν ασταμάτητα δημιουργόντας διαρκώς νεα "μαθηματική ύλη". Οριζοντια στην αριθμογραμμή δεν έχουμε τιποτε που να θυμίζει αυτη την διαδικασία. Εχουμε μονο την απλη αριθμηση (των διαστημάτων, [0,1], [1,2], [2,3] κλπ). Ενα συνολο Vitali ειναι σαν να εχει μαζεψει κανεις τη μαγιά που οδηγεί στο φουσκωμα της ζυμης των μαθηματικών.
Η πραγματική γεννετικοτητα των αριθμών, το "φουσκωμά" τους, οφειλεται στους αρρητους. Δεν ειναι λοιπον απιθανο να υπάρχει κάποιος τροπος (ο οποιος αξιζει να σημειωθει οτι δεν μπορει να ορισθει με κάποιον κανονα που ο νους μας να παρακολουει στη λεπτομερειά του: το συνολο Vitlai φτιάχνεται με επιλογή που νοιώθουμε οτι θα πρέπει να ειναι εφικτή αλλά χωρις να μπορουμε να προσδιορισουμε τον κανόνα της) να σπειρουμε τη μαγιά του Vitali με τετοιο τρόπο σε ολη της αριθμογραμμή ώστε "φουσκώνοντας" να μας δινει καθε αριθμο της αριθμογραμμής.
Καθως τα σκέφτεται κανεις αυτα νοιώθει και στο νου του το παιγνιδι ανάμεσα σε μια "εικονα" στατικη (οι αριθμοι εκει εξω, συγκεκριμένοι, είδωλα θα έλεγε κανείς) και μια εμπειρια δυναμική: οι δεκαδικές αναπτυξεις που σαν γεοτρυπανα βυθιζονται και ταυτοχρονα διαρκώς διαφοροποιουνται: Στα 10 δεκαδικά ψηφία έχω περιπου 10 στην 10 περιπου διαφορετικούς αριθμους. Στο επομενο βημα "μεγέθυνσης" (11 δεκαδικά ψηφία) η μαθηματική "υλη" θα έχει πλουτισθει 9 φορές παραπάνω απο ό,τι ηταν πριν και αυτο συνεχιζεται σε κάθε "βημα" "μεγέθυνσης". (και να φαντασθει κανεις οτι σε κάθε περιπτωση ο "πλουτος" βρίσκεται σε αυτο που ακομα δεν έχει εμφανιστει απο την δεκαδική αναπτυξη, στα ευθυγραμμα τμηματα ανάμεσα στα σημεία που αντιστοιχουν στους αριθμους της δεκαδικής ανάπτηξης πχ για 11 ψηφία)
Ετσι η αριθμογραμμή μοιάζει περισσοτερο σαν το στατικο συμβολο μιας εξαιρετικά δυναμικής διαδικασίας, μιας διαδικασίας εμπλοκής των περατών κινήσεων του νου μας με το βιωμα του απειρου που μόλις και το αγγίζουμε (αλλα μας ξεφευγει) και λιγοτερο με μια φωτογραφια του "τι υπάρχει εκει".
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου